Gruppo (mathematica)

In mathematica un gruppo es un structura algebric que consiste de un insimul, G, e un operation binari, ·, tal que quatro conditiones (le axiomas de gruppos) es satisfacite. Un exemplo es le insimul de numeros integre con le operation de addition. Le axiomas es le sequentes:

1. (clausura) $a\cdot b$ es un elemento de $G$ pro omne $a$ e $b$ in $G$.
2. (associativitate) $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ pro omne $a$, $b$ e $c$ in $G$.
3. (elemento neutre) il ha un elemento $e$ de $G$ tal que $e\cdot a=a\cdot e=a$ pro omne $a$ in $G$.

   Nota: On pote demonstrar que il ha solmente un tal elemento; on pote dicer le elemento neutre.

4. (inverso) pro omne $a$ in $G$ il ha un elemento $b$ in $G$ tal que $b\cdot a=a\cdot b=e$, ubi $e$ es le elemento neutre.

   Nota: On pote demonstrar que pro omne $a$ il ha solmente un tal elemento como $b$; on pote dicer le inverso de $a$. Un notation commun es $a^{-1}$.

Le permutationes del Cubo de Rubik forma un gruppo.

In le exemplo del [8numero integre|numeros integre]], (1.) le summa de duo numeros integre es un numero integre, (2.) $m+(n+p)=(m+n)+p$ pro omne numeros integre $m$, $n$, e $p$, (3.) le elemento neutre es $0$, e (4.) le inverso de $m$ es $-m$. Le numeros integre non es un gruppo con subtraction como le operation proque subtraction non es associative.

Commutativitate $a\cdot b=b\cdot a$ non es un axiom de gruppos: il ha gruppos ubi il ha elementos tal que $a\cdot b\neq b\cdot a$. Si le operation es commutative, le gruppo es un gruppo abelian.

Vide etiam

• Theoria de gruppos
• Semigruppo
• Anello (algebra)
• Corpore (mathematica)
• Anello de division
• Spatio vectorial
• Gruppo de Lie
• Gruppo symmetric
• Theoria de insimules
• Tabella de leges algebric